《奇偶性》函數(shù)的概念與性質(zhì)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.結(jié)合具體函數(shù)理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義.
2.了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征.
3.會(huì)判斷(或證明)函數(shù)奇偶性.
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奇偶性PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、偶函數(shù)
1. (1)觀察下列函數(shù)的圖象,你能通過這些函數(shù)的圖象,歸納出這三個(gè)函數(shù)的共同特征嗎?
提示:這三個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
(2)對(duì)于上述三個(gè)函數(shù),f(1)與f(-1),f(2)與f(-2),f(3)與f(-3)有什么關(guān)系?這說明關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系?
提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.
(3)一般地,若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)與f(-x)有什么關(guān)系?反之成立嗎?
提示:若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
2.填空
(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).
(2)偶函數(shù)的圖象特征:圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
3.做一做:
下列函數(shù)中,是偶函數(shù)的是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x
C.f(x)=
D.f(x)=x+x3
答案:A
二、奇函數(shù)
1. (1)觀察函數(shù)f(x)=x和f(x)= 的圖象(如圖),你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎?
提示:容易得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(2)對(duì)于上述兩個(gè)函數(shù)f(1)與f(-1),f(2)與f(-2),f(3)與f(-3)有什么關(guān)系?
提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).
(3)一般地,若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則f(x)與f(-x)有什么關(guān)系?反之成立嗎?
提示:若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
2.與偶函數(shù)定義類似,試仿照填空
(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).
(2)奇函數(shù)的圖象特征:圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
3.做一做
(1)函數(shù)f(x)= -x的圖象關(guān)于( )對(duì)稱.
A.y軸 B.直線y=-x
C.坐標(biāo)原點(diǎn) D.直線y=x
(2)下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是( )
解析:(1)因?yàn)閒(x)= -x是奇函數(shù),所以該函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.
(2)選項(xiàng)A中的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸均不對(duì)稱,故排除;選項(xiàng)C,D中的圖象所表示函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不具有奇偶性,故排除;選項(xiàng)B中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其表示的函數(shù)是偶函數(shù).故選B.
答案:(1)C (2)B
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奇偶性PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
判斷函數(shù)的奇偶性
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=(2x^2+2x)/(x+1);
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=√(1"-" x^2 )+√(x^2 "-" 1);
(4)f(x)={■(x"(" 1"-" x")," x<0"," @x"(" 1+x")," x>0"." )┤
分析:利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),先求出函數(shù)的定義域,看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系.為了判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,既可以從f(-x)開始化簡整理,也可以考慮f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.當(dāng)f(x)不等于0時(shí)也可考慮(f"(-" x")" )/(f"(" x")" )與1或-1的關(guān)系,還可以考慮使用圖象法.
解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).
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奇偶性PPT，第四部分內(nèi)容：思想方法
利用定義法、賦值法解決抽象函數(shù)奇偶性問題
典例 若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,則( )
A.f(x)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)
B.f(x)是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),且在R上不是單調(diào)函數(shù)
D.無法確定f(x)的單調(diào)性和奇偶性
解析:令x1=x2=0,則f(0)=2f(0),
所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
則f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).
設(shè)x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)<f(x1),
所以函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù).故選B.
答案:B
反思感悟 1.判斷抽象函數(shù)的奇偶性,應(yīng)利用函數(shù)奇偶性的定義,找準(zhǔn)方向,巧妙賦值,合理、靈活變形,找出f(-x)與f(x)的關(guān)系,從而判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性.
2.有時(shí)需要整體上研究f(-x)+f(x)的和的情況.
比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函數(shù).
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奇偶性PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},則a+b等于 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析:因?yàn)橐粋�(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},
根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以a與b有一個(gè)等于1,一個(gè)等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
答案:A
2.函數(shù)y=(x^2 "(" x+4")" )/(x+4)( )
A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)
解析:由題意知函數(shù)的定義域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
答案:D
3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x2-x,則f(1)=( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
解析:當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),
故f(1)=-f(-1)=-3,故選B.
答案:B
4.若函數(shù)f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=________.
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,
∵f(x)是偶函數(shù),∴a-4=0,即a=4.
答案:4
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