《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)
1.了解函數(shù)零點(diǎn)的定義,并會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn).
2.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.
3.掌握函數(shù)零點(diǎn)存在的條件,會(huì)利用兩種角度判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
4.要深刻理解零點(diǎn)存在定理,并能解決零點(diǎn)的存在性等問題.
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函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、函數(shù)的零點(diǎn)
1.已知函數(shù)f(x)=2x+6.
(1)求方程f(x)=0的解;
提示:由2x+6=0,解得x=-3.
(2)求函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
提示:交點(diǎn)坐標(biāo)A(-3,0).
(3)方程的解與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間是怎樣的關(guān)系?
提示:相等.
2.填空:
函數(shù)的零點(diǎn)
(1)定義:對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).
(2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).
3.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?為什么?
提示:不是.函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,因此,函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),而是一個(gè)實(shí)數(shù),當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)值為零.
4.你能說出函數(shù)①y=lg x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零點(diǎn)嗎?
提示:①y=lg x的零點(diǎn)是x=1;②y=lg (x+1)的零點(diǎn)是x=0;③y=2x沒有零點(diǎn);④y=2x-2的零點(diǎn)是x=1.
5.做一做:
函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是( )
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0 D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數(shù)f(x)=x2-1的零點(diǎn)是±1.
答案:D
二、方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系
1.考察下列一元二次方程與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù):
①方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;
②方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;
③方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3.
(1)你能夠畫出關(guān)于上述方程的根,函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)的表格嗎?
(2)從你所列的表格中,你能得出什么結(jié)論?
提示:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根⇔函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)⇔函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).
三、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
1.觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象,發(fā)現(xiàn)這個(gè)二次函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上有零點(diǎn)x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函數(shù)在區(qū)間[2,4]上有零點(diǎn)x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上兩步探索,你可以得出什么樣的結(jié)論?
提示:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).
2.填空:
函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.
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函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
求函數(shù)的零點(diǎn)
例1 判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出零點(diǎn).
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通過解方程f(x)=0求得函數(shù)的零點(diǎn).
解:(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-1/8或x=1.
所以函數(shù)的零點(diǎn)為-1/8,1.
(2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=1/3.
所以函數(shù)的零點(diǎn)為1/3.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.
反思感悟 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以求函數(shù)的零點(diǎn)通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的解求得函數(shù)的零點(diǎn);二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).
變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點(diǎn)是1和2,求函數(shù)y=logn(mx+1)的零點(diǎn).
解:由題意知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點(diǎn)為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實(shí)根.
所以有{■(1+2="-" 3"(" m+1")," @1×2=n"," )┤解得{■(m="-" 2"," @n=2"." )┤
所以函數(shù)y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函數(shù)y=log2(-2x+1)的零點(diǎn)為0.
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函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解PPT，第四部分內(nèi)容：思想方法
函數(shù)與方程思想在一元二次方程解的分布問題中的應(yīng)用
典例 關(guān)于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a為何值時(shí):
(1)方程有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解;
(2)方程的兩個(gè)解都大于1.
【審題視角】 題意→畫草圖→轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系→求解
解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
(1)當(dāng)方程有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解時(shí),f(x)對(duì)應(yīng)的草圖可能如圖①,②所示.
因此f(x)=0有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解等價(jià)于{■(a>0"," @f"(" 0")" <0"," )┤或{■(a<0"," @f"(" 0")" >0"," )┤
解得0<a<1.
所以當(dāng)0<a<1時(shí),方程有一個(gè)正解和一個(gè)負(fù)解.
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函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.函數(shù)f(x)=log5(x-1)的零點(diǎn)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函數(shù)f(x)=log5(x-1)的零點(diǎn)是2,故選C.
答案:C
2.若x0是方程ln x+x=4的解,則x0所在的區(qū)間是 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:設(shè)f(x)=ln x+x-4,則f(1)=-3<0,
f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,
f(4)=ln 4>0,則x0∈(2,3).
答案:C
3.已知函數(shù)y=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為___________.
解析:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)為y=-x-1,顯然該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)y=ax2-x-1為二次函數(shù).
∵函數(shù)y=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),
∴方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解.
∴Δ=1+4a=0,即a=-1/4.
綜上可知,a的值為0或-1/4.
答案:0或-1/4
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