《用二分法求方程的近似解》指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標
1.理解二分法的操作步驟與思想及理論依據(jù).
2.能夠借助計算器用二分法求方程的近似解或求函數(shù)零點的近似值.
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用二分法求方程的近似解PPT，第二部分內(nèi)容：自主預習
一、二分法的概念
1.在一檔娛樂節(jié)目中,主持人讓選手在規(guī)定時間內(nèi)猜某物品的價格,若猜中了,就把物品獎給選手.某次競猜的物品為價格在800元~1 200元之間的一款手機,選手開始報價:
選手:1 000.
主持人:低了.
選手:1 100.
主持人:高了.
選手:1 050.
主持人:祝賀你,答對了.
(1)主持人說“低了”隱含著手機價格在哪個范圍內(nèi)?
提示:(1 000,1 200].
(2)選手每次的報價值同競猜前手機價格所在范圍有何關系?
提示:報價值為競猜前手機價格所在范圍的中間值.
2.填空
對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
3.判斷正誤
函數(shù)f(x)=|x|可以用二分法求其零點. ( )
答案:×
4.做一做
下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是( )
解析:利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側的函數(shù)值異號.在選項B中,不滿足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求函數(shù)零點,由于選項A,C,D中零點兩側的函數(shù)值異號,故可采用二分法求函數(shù)零點.
答案:B
二、用二分法求f(x)零點近似值的步驟
1.在上述猜物品價格的實例中,競猜的過程是否有規(guī)律可循?
提示:競猜過程歸結為:設原價為x,則(1)給定價格區(qū)間[a,b];(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;(3)若c>x,則在區(qū)間(a,c)內(nèi)競猜;若c<x,則在區(qū)間(c,b)內(nèi)競猜;(4)依次類推,直到猜出原價x.
2.填空
給定精確度ε,用二分法求f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:
(1)確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0;
(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;
(3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區(qū)間;
若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數(shù)的零點;
若f(a)f(c)<0(此時零點x0∈(a,c)),則令b=c;
若f(c)f(b)<0(此時零點x0∈(c,b)),則令a=c.
(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b),否則重復(2)~(4).
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用二分法求方程的近似解PPT，第三部分內(nèi)容：探究學習
二分法的概念
例1下列圖象表示的函數(shù)中,能使用二分法求零點的是( )
分析:利用二分法求函數(shù)零點的條件是:函數(shù)在零點的左右兩側的函數(shù)值符號相反,即穿過x軸,分析選項可得答案.
解析:能用二分法求函數(shù)零點的函數(shù),在零點的左右兩側的函數(shù)值符號相反,由圖象可得,A、B、D不能滿足此條件.
答案:C
反思感悟 (1)二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點的方法,找到零點附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點.
(2)只有滿足函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)且在該零點左右函數(shù)值異號才能應用“二分法”求函數(shù)零點.
變式訓練1若二次函數(shù)f(x)=2x2+3x+m存在零點,且能夠利用二分法求得此零點,則實數(shù)m的取值范圍是________.
用二分法求函數(shù)的零點
例2求函數(shù)f(x)=x2-5的負零點的近似值(精確度0.1).
分析:先確定f(-2)與f(-3)的符號,再按照二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解.
解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算,列表如下:
反思感悟 用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則及求解流程圖
1.用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則:
(1)依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m,n](這個區(qū)間既要包含所求的根,又要使其長度盡可能的小,區(qū)間的端點盡量為整數(shù)).
(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的長度符合精確度要求(這個過程中應及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度),才終止計算,得到函數(shù)零點的近似值(為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法).
2.利用二分法求函數(shù)近似零點的流程圖:
延伸探究如本例中的精確度改為0.2呢?
解:由【例2】的表格可知,區(qū)間(-2.25,-2)的長度為|-2-(-2.25)|=0.25>0.2;
而區(qū)間(-2.25,-2.125)的長度|-2.125-(-2.25)|=0.125<0.2,所以這個區(qū)間的兩個端點值就可以作為其近似值,所以其近似值可取-2.125.
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用二分法求方程的近似解PPT，第四部分內(nèi)容：思想方法
轉化與化歸思想在二分法中的應用
典例 求∛2的近似值(精確度0.01).
【審題視角】 設x=∛2→∛2就是方程x3-2=0的根→∛2就是函數(shù)y=x3-2的零點
解:設x=∛2,則x3-2=0.令f(x)=x3-2,
則函數(shù)f(x)零點的近似值就是∛2的近似值.
以下用二分法求其零點的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取區(qū)間[1,2]為計算的初始區(qū)間.用二分法逐步計算,列表如下:
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用二分法求方程的近似解PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,其中零點的個數(shù)及可以用二分法求其零點的個數(shù)分別為( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
解析:由題圖知函數(shù)f(x)與x軸有4個公共點,因此零點個數(shù)為4,從左往右數(shù)第4個公共點橫坐標的左右兩側的函數(shù)值同號,因此不能用二分法求該零點,而其余3個均可使用二分法來求.故選D.
答案:D
2.用二分法求函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的近似零點時的初始區(qū)間是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-3,-2)
解析:本題考查對用二分法求函數(shù)零點近似值的理解及初始區(qū)間的選擇.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.
又函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的定義域為R,
故f(x)的一個零點的近似值所在的初始區(qū)間為(1,2).
答案:B
3.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解時,經(jīng)計算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一個近似解為_______________.(精確度0.1)
解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)內(nèi)的值都可以作為方程精確度為0.1的一個近似解.
答案:0.532(答案不唯一)
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