《向量基本定理與向量的坐標(biāo)》平面向量初步PPT課件(向量基本定理 直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算)
第一部分內(nèi)容：學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握共線向量基本定理
理解平面向量基本定理
兩定理的熟練應(yīng)用
理解直線上向量的坐標(biāo)的含義及其運(yùn)算
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向量基本定理與向量的坐標(biāo)PPT，第二部分內(nèi)容：自主學(xué)習(xí)
問題導(dǎo)學(xué)
預(yù)習(xí)教材P152－P159的內(nèi)容，思考以下問題：
1．共線向量基本定理是怎樣表述的？
2．用向量證明三點(diǎn)共線有哪些方法？
3．平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？
4．如何定義平面向量基底？
5．實(shí)數(shù)與直線上的向量建立了什么關(guān)系？
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向量基本定理與向量的坐標(biāo)PPT，第三部分內(nèi)容：新知初探
1．共線向量基本定理
如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得________．
由共線向量基本定理及前面介紹過的結(jié)論可知，如果A，B，C是三個(gè)不同的點(diǎn)，則它們共線的充要條件是：______________________________．
2．平面向量基本定理
如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b__________，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得__________．
平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a，b}常稱為該平面上向量的一組_____，此時(shí)如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的__________．
名師點(diǎn)撥
(1)a，b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量．
(2)該平面內(nèi)任意向量c都可以用a，b線性表示，且這種表示是唯一的．
(3)基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．
3．直線上向量的坐標(biāo)
給定一條直線l以及這條直線上一個(gè)單位向量e，由共線向量基本定理可知，對(duì)于直線l上的任意一個(gè)向量a，一定存在唯一的實(shí)數(shù)x，使得__________，此時(shí)，x稱為向量a的坐標(biāo)．
當(dāng)x>0時(shí)，a的方向與e的方向_____；
當(dāng)x＝0時(shí)，a是__________；
當(dāng)x<0時(shí)，a的方向與e的方向_____．
也就是說，在直線上給定了單位向量之后，直線上的向量完全被其坐標(biāo)確定．
4．直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系
假設(shè)直線上兩個(gè)向量a，b的坐標(biāo)分別為x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，則a＝b⇔__________; a＋b＝__________．
如果u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么ua＋vb的坐標(biāo)為__________，
ua－vb的坐標(biāo)為__________．
設(shè)A(x1)，B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA→＝x1e，OB→＝x2e，因此，
AB→＝OB→－OA→＝____________________．
AB＝|AB→|＝__________．
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向量基本定理與向量的坐標(biāo)PPT，第四部分內(nèi)容：自我檢測(cè)
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底．( )
(2)若e1，e2 是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量．( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則a＝c，b＝d.( )
2. 如果向量a與向量b不平行，則與a，b都不平行的向量是( )
A．3a＋2b B．2a
C．－32a D．－3b
3. 數(shù)軸上三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為－1，2，5，則( )
A.AB→的坐標(biāo)為－3 B.BC→的坐標(biāo)為3
C.AC→的坐標(biāo)為－6 D.BC→的坐標(biāo)為－3
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向量基本定理與向量的坐標(biāo)PPT，第五部分內(nèi)容：講練互動(dòng)
共線向量基本定理
例1 已知m，n是不共線向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判斷a與b是否共線？
【解】若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)．
因?yàn)閙，n不共線，所以6λ＝3，－8λ＝4.
因?yàn)椴淮嬖?lambda;同時(shí)滿足此方程組，
所以a與b不共線．
規(guī)律方法
利用向量共線求參數(shù)的方法
判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值．
用基底表示向量
例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC→＝a，BD→＝b，試用基底a，b表示AB→，BC→.
規(guī)律方法
將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
直線的向量參數(shù)方程式的應(yīng)用
例3 已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B，對(duì)該平面內(nèi)任一動(dòng)點(diǎn)C，總有OC→＝3λOA→＋(1－3λ)OB→(λ∈R，點(diǎn)O為直線AB外的一點(diǎn))，則點(diǎn)C的軌跡是什么圖形？簡(jiǎn)單說明理由．
【解】法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，結(jié)合直線的向量參數(shù)方程式可知點(diǎn)C的軌跡是直線AB.
法二：將已知向量等式兩邊同時(shí)減去OA→，得
OC→－OA→＝(3λ－1)OA→ ＋(1－3λ) OB→
＝(1－3λ)(OB→－OA→)
＝(1－3λ)AB→，
即AC→＝(1－3λ)AB→，λ∈R，
所以A，B，C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C的軌跡是直線AB.
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向量基本定理與向量的坐標(biāo)PPT，第六部分內(nèi)容：達(dá)標(biāo)反饋
1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是( )
A.AB→，DC→ B.AD→，BC→
C.BC→，CB→ D.AB→，DA→
2．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若BC→＝3CD→，則( )
A.AD→＝－13AB→＋43AC→
B.AD→＝13AB→－43AC→
C.AD→＝43AB→＋13AC→
D.AD→＝43AB→－13AC→
3．已知向量a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為________．
4．已知數(shù)軸上四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是－4，－2，c，d.
(1)若|BD→|＝6，求d的值；
(2)若AC→＝－3AD→，求證：3CD→＝－4AC→.
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