《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用PPT(第3課時(shí)向量的數(shù)乘運(yùn)算)

《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用PPT(第3課時(shí)向量的數(shù)乘運(yùn)算)

第一部分內(nèi)容：學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律

掌握向量共線(xiàn)定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線(xiàn)

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平面向量的運(yùn)算PPT，第二部分內(nèi)容：自主學(xué)習(xí)

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P13－P16的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1．向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？

2．向量數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足哪三條運(yùn)算律？

3．向量共線(xiàn)定理是怎樣表述的？

4．向量的線(xiàn)性運(yùn)算是指的哪三種運(yùn)算？

新知初探

1．向量的數(shù)乘的定義

一般地，規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)_______，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作_______，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

(1)|λa|＝_______．

(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向_______；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向_______；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝_______．

名師點(diǎn)撥 

λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒(méi)有意義．

2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律

設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么：

(1)λ(μa)＝_______．

(2)(λ＋μ)a＝______________．

(3)λ(a＋b)＝______________．

3．向量的線(xiàn)性運(yùn)算及向量共線(xiàn)定理

(1)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的___________．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．

(2)向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使_______．

名師點(diǎn)撥 

若將定理中的條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線(xiàn)．

(1)若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.

(2)若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa.

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平面向量的運(yùn)算PPT，第三部分內(nèi)容：自我檢測(cè)

1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量．(　　)

(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．(　　)

(3)若ma＝mb，則a＝b.(　　)

(4)向量共線(xiàn)定理中，條件a≠0可以去掉．(　　)

2.  4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)

A．a(chǎn)－2b　　B．a(chǎn)

C．a(chǎn)－6b　　D．a(chǎn)－8b

3.若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是(　　)

A．b＝2a  B．b＝－2a

C．a(chǎn)＝2b  D．a(chǎn)＝－2b

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平面向量的運(yùn)算PPT，第四部分內(nèi)容：講練互動(dòng)

向量的線(xiàn)性運(yùn)算

(1)計(jì)算：

①4(a＋b)－3(a－b)－8a；

②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；

③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.

(2)設(shè)向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．

規(guī)律方法

向量線(xiàn)性運(yùn)算的基本方法

(1)類(lèi)比方法：向量的數(shù)乘運(yùn)算可類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算．例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．

(2)方程方法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．　 

向量共線(xiàn)定理及其應(yīng)用

已知非零向量e1，e2不共線(xiàn)．

(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線(xiàn)，試確定實(shí)數(shù)k的值．

規(guī)律方法

向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用

(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)平行．　 

(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線(xiàn)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)重合．例如，若AB→＝λAC→，則AB→與AC→共線(xiàn)，又AB→與AC→有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，這是證明三點(diǎn)共線(xiàn)的重要方法．

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平面向量的運(yùn)算PPT，第五部分內(nèi)容：達(dá)標(biāo)反饋

1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于(　　)

A．2a－b　B．2b－a

C．b－a   D．a(chǎn)－b

2．若點(diǎn)O為平行四邊形ABCD的中心，AB→＝2e1，BC→＝3e2，則32e2－e1＝(　　)

A.BO→   B.AO→

C.CO→   D.DO→

3．已知e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求證A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．

證明：因?yàn)镃B→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，

所以BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2.

又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以AB→＝2BD→，所以AB→與BD→共線(xiàn)．

因?yàn)锳B與BD有交點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．

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