北師大版八年級數(shù)學下冊《角平分線》三角形的證明PPT課件(第1課時),共19頁。
情景導入
不利用工具,請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角. 你有什么辦法?
再打開紙片 ,看看折痕與這個角有何關系?
獲取新知
知識點一:角平分線的性質
還記得角平分線上的點有什么性質嗎?你是怎樣得到的?請你嘗試證明這性質,并與同伴交流.
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等
已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D,E.
求證:PD=PE.
證明:∵PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為D,E,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2, OP=OP
∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
∴PD=PE (全等三角形的對應邊相等).
1.性質:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
2.書寫格式:
如圖,∵OP平分∠AOB,
PD⊥ OA于點D,PE⊥OB于點E,
∴PD=PE.
3.定理應用所具備的條件:
(1)角的平分線;
(2)點在該平分線上;
(3)垂直距離.
4.定理的作用:證明線段相等.
例題講解
例1 已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分別為E,F.
求證:EB=FC.
證明: ∵AD是∠BAC的平分線, DE⊥AB, DF⊥AC,
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
知識點二:角平分線的判定
想一想:你能寫出這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?
如果有一個點到角兩邊的距離相等,那么這個點必在這個角的平分線上.
在一個角的內部,到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
已知:如圖,點P為∠AOB內一點,PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.
求證:OP平分∠AOB.
證明:∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D,E,
∴∠ODP=∠OEP=90°,
∵PD=PE,OP=OP,
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1=∠2 (全等三角形的對應角相等).
∴OP平分∠AOB.
1.判定方法:角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
2.書寫格式:∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=∠BOC).
3.應用所具備的條件:
(1)位置關系:點在角的內部;
(2)數(shù)量關系:該點到角兩邊的距離相等.
4.定理的作用:判斷點是否在角平分線上.
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